J’ai parlé hier de l’exponentielle dans une catégorie générale:
La notion de limite d’un diagramme comme “cône universel” dans une catégorie a été présentée ici:
Il ne s’agit pas de notions différentes de celles que l’on connaît comme somme, produit et exponentielle ou dans le cas de nos bonnes vieilles opérations sur les nombres entiers: addition, multiplication et puissance.
Il suffit pour le vérifier de se placer dans la catégorie des ensembles, et notamment la catégorie des ensembles finis FinEns qui forme une sous-catégorie de la catégorie Ens des ensembles (ayant un nombre fini ou infini d’éléments).
Ainsi nous avons vu hier que l’exponentielle BA de deux ensembles est l’ensemble de toutes les applications (fonctions) allant de A vers B.
Il est facile de voir que si A a un nombre fini a d’éléments et B un nombre fini b, alors il y a un nombre fini de fonctions de A vers B qui est l’exponentielle
ba
Car donnons un ordre aux éléments de A (comme ils sont en nombre fini c’est facile) et prenons le premier élément : il y a b choix pour son correspondant dans B, ensuite on recommence cela pour le second élément il y a de nouveau b choix indépendants du premier (les a éléments de A peuvent parfaitement avoir le même correspondant dans B, ce qui est interdit par la définition même de fonction c’est qu’un même élément de A ait plusieurs correspondants dans B)…
Et ainsi de suite pour les a éléments de A, au total on a un nombre de choix de fonctions égal à :
b × b ×…b × b (à fois) ce qui est la définition de :
ba
“b puissance a” qui est donc le nombre de fonctions de A vers B, ou encore le nombre d’éléments de BA
De même le produit catégorique est dans le cas des ensembles le produit cartésien A × B qui est l’ensemble des couples (y, z) où y ∊ A (y est élément de A) et z ∊ B, dont le nombre est évidemment : a × b
De même la somme catégorique, construction duale du produit, est une colimite, c’est dans le cas des ensembles ce qu’on appelle “somme directe de A et B” c’est à dire l’ensemble qui est l’union de : {A × {⊘}) et ({⊘} × B} qui dans le cas où A et B sont disjoints ( c’est à dire n’ont aucun élément en commun, ont une intersection vide) se ramène à A ⋃ B, c’est à dire l’union de A et de B. Le nombre d’éléments de la somme est clairement
a + b
.
La théorie des catégories jette une lumière nouvelle sur ces trois opérations (qu’Hoené Wronski appelait les trois algorithmes fondamentaux, il leur donnait les noms de sommation, reproduction pour la multiplication et graduation pour l’exponentielle) et notamment le fait que somme et produit sont catégoriquement parlant duales l’une de l’autre (en passant à la catégorie duale, construite en gardant les mêmes objets mais en inversant le sens des flèches la somme devient le produit).
Hoené Wronski au 19ème siècle ne pouvait pas connaître la théorie des catégories, apparue un siècle plus tard, en 1945, aussi se trompe t’il à mon avis en tentant de faire correspondre à chaque algorithme un “élément primitif” de sa “loi de création”, voir:
https://apodictiquemessianique.wordpress.com/2013/10/22/la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski/
https://apodictiquemessianique.wordpress.com/2013/10/22/diagrammes-de-la-loi-de-creation/
et
https://apodictiquemessianique.wordpress.com/2013/10/22/diagrammes-de-la-loi-de-creation-2/
(Cliquer sur les deux images ci dessus pour les voir sous leur forme développée)
Wronski parle de cette correspondance entre les trois opérations (algorithmes) : somme, produit, exponentielle et les trois éléments primitifs : élément neutre EN, élément être EE, et élément savoir ES dans plusieurs de ses œuvres notamment dans “Introduction à la philosophie des mathématiques” qui date de 1811 et dont le texte est ici sur Gallica:
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6225961k
(Il est aussi sur Google en lecture gratuite) et voir cet ancien article sur ce livre:
Je ne me souviens plus des correspondances de Wronski mais il me semble qu’il attribue l’élément neutre EN à la somme.
Or s’il avait pu connaître la théorie des catégories et le fait que somme et produit sont en dualité, il aurait su que ces deux algorithmes correspondent à la paire EE et ES, élément neutre et élément savoir, qui sont opposés l’un à l’autre sur l’axe horizontal du diagramme de la loi de création, voir mes explications:
https://apodictiquemessianique.wordpress.com/2012/11/12/loi-de-creation-et-theorie-des-categories/
et donc il ne reste plus que l’élément neutre EN pour correspondre à l’exponentielle (que Wronski appelle graduation)
Maintenant comment répartir EE et ES entre multiplication et addition?
Il me semble que la multiplication correspond aux générations humaines et donc au plan vital ou naturel, représenté dans le diagramme de la loi de création par EE. Que l’on pense au verset biblique “Croissez et multipliez” !!!
Donc ne reste plus que ES, élément savoir, pour l’addition.
Rappelons que nous assignons à EN, dans ce qui n’est plus un schéma métaphysique mais mathématique, le rôle d’un foncteur entre EE et ES, voir:
https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/23/retour-a-ou-detour-par-la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski/
Or la correspondance que nous venons d’affirmer (sans en être sûr) entre EN, sorte de “pont unifiant et fonctoriel” entre EE et ES, et l’exponentielle, tandis que EE correspondrait à la multiplication et ES à la somme, ne se trouve t’elle pas en quelque sorte “confirmée” par l’équation bien connue:
e(x + y) = ex × ey
selon laquelle l’exponentiation “transforme” l’addition en multiplication ?
Je ne sais pas trop quoi faire pour l’instant de cette correspondance mais il me semble que, si du moins elle est valide, elle pourrait avoir de profondes répercussions philosophiques.
Je pense notamment au dernier theoreme de Fermat dont la démonstration a résisté pendant trois siècles et demi aux efforts de l’humanité jusqu’à la pierre finale apportée à l’édifice par Andrew Wiles en 1993:
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Dernier_théorème_de_Fermat
Je suis convaincu que ce théorème dépasse de loin l’arithmétique diophantienne voire même la mathématique pure et simple et possède un sens métaphysique..
Quel est le sens profond de ce fait maintenant prouvé que l’équation (où x, y, z sont des nombres entiers non tous nuls et où n est un entier supérieur ou égal à 1):
xn + yn = zn
possède une infinité de solutions pour n=2 (et évidemment pour le cas trivial n=1) mais plus aucune à partir de n = 3 ?
Remarquons que cette équation mêle deux des trois opérations fondamentales : addition et exponentiation, c’est à dire, si notre intuition est juste, ES et EN, élément savoir et élément neutre (le plan vital représente par l’élément être étant absent, ou écarte).
HENOSOPHIA Réforme absolue du savoir humain ενοσοφια τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια 